三、估算策略和估算能力发展的研究
由于估算研究中估算策略类型的确定受到任务类型、呈现方式以及数字特征等的影响，估算能力发展的研究也由于所选估算类型的不同，评价指标的不一致等原因而产生不同的结果。所以对估算策略和估算能力发展问题的综述，从三个类型领域来进行。
（一）计算估算
雷斯（ Reys ）等人把计算估算定义为是心算，四舍五入技能，位值等数概念，以及快速形成合理计算结果的心理补偿等知识和能力之间相互作用的过程。他们访谈了 59 位较为熟练的估算者（成人和 7 到 12 年级学生），界定出三个主要的计算估算过程：重组，转换和补偿。重组是改变数字以产生一种内心易于处理的形式；转换是把问题的数学结构改变为一种易于处理的形式；补偿是通过调整，使之反映由于重组和转换而出现的数值变化。 [17] 勒费布尔等人（ 1993 ）的乘法估算研究表明：估算表现随年龄而提高，但显著的发展变化是体现在用于执行估算任务的概念性知识上。 6 年级儿童似乎理解了简化原则在估算中的作用，儿童通过四舍五入和先前补偿来简化问题以得到合理的估算。 [18]
多克（ Dowker ， 1997 ）使用心算熟练度任务，计算估算的评价任务，和开放的计算估算任务对 215 名儿童（ 4 岁 9 个月到 9 岁 10 个月）进行测试，结果表明，估算的熟练程度随算术能力而增加，随问题难度而降低。估算能力会受限于儿童的起始算术水平。尽管处于该水平的儿童也使用了一些估算策略，但与他们的估算常常是不相称的，估算值也是不合理的。心算表现水平低的儿童中较差的估算能力反映了他们相关的正式算术知识的缺乏。 [19] 这就说明计算估算不是独立于精确计算能力的。
莱曼利（ Lemaire ）等人（ 2000 ）用三位数加法问题考查了 5 年级学生在计算估算中的策略。口头报告出四种策略：分解的凑整（ rouding with decomposition ），不分解的凑整，截短和补偿。结果表明，策略的有效性和使用频率存在很大差异，凑整使用最频繁，补偿使用最少。截短是表现最快的策略，补偿策略最慢，但补偿策略产生的估算最精确。儿童以适宜的方式进行策略选择。 [20] 司继伟和张庆林（ 2003 ）借鉴莱曼利与西格勒提出的儿童认知策略的一般概念框架，运用自编的包含了整数、小数和分数的加、减、乘、除运算的估算题目，对 210 名小学六年级儿童的计算估算能力进行研究。结果表明儿童的估算成绩明显受到数字类型和运算规则的交互影响，儿童能够运用多种估算策略，但各种策略的使用频率、执行速度和准确性都存在明显的个体差异。 [21]
绝大多数计算估算的研究收集了估算的精确度（估算值和正确值间的差异）和口头报告（考查策略使用情况），有少量研究也收集了解决估算问题所用的时间或控制了时间变量，但所采用的估算任务在各研究中差异较大，往往难以进行比较。但研究已表明计算估算具有年龄差异，也获取了一些常规的策略类型，并表明计算估算能力与数学中的精确计算能力紧密相关。但对计算估算出现的年龄时间，似乎仍没有一致的结论。
（二）测量估算
测量估算被看作是没有工具的物理测量。大多数测量估算研究是在线性测量的特征上展开，如长度和距离估算。测量估算的认知过程可能随所估算的特征而变化。 [22] 测量估算形成的先决条件包含两个类属，即皮亚杰描述的逻辑推理过程和具体的测量概念知识。 [23] 一般认为长度守恒和转换两种逻辑推理过程与线性测量十分相关。两种推理都是在儿童 6 到 7 岁时才得以发展。 [24] 但赫尔伯特（ Hiebert ， 1984 ）研究证明，一年级儿童虽还没有发展这些推理过程，但已能成功地通过教学来学习一些物理测量概念。缺少守恒和转换推理似乎并不限制儿童对大多数测量概念的学习。 [25]
福雷斯特（ Forrester ）等人（ 1990 ）的研究 要求 5-8岁的67名儿童完成了 距离，面积和体积的估算任务。 任务类型分“实际生活”形式和“数学任务”形式 。 研究发现，背景对估算策略有显著的主效应， 估算能力有某些年龄差异的迹象，但组间比较差异不显著。结果表明差异与任务类型有关，儿童对 “实际生活”任务产生了低估的答案，而对 “数学任务” 产生了高估的答案。研究发现五种主要策略解释：不知道；想的；猜的；想象的（通过看和比较）；想象的（通过数数）。年幼儿童有一种回答不知道的趋势，而年龄较大儿童会解释他们的估算策略。 儿童的回答强调了想象和课堂经验的重要性。 [26]
乔拉姆（ Joram ）等人（ 1998 ）通过对有关测量估算的教育学研究进行综述，概括出第一代研究仅在于积累儿童和成人如何估算的资料。估测的是记忆物体，造成个体间所估测物体不同一。第二代研究关注于个体估测各种特征（如高度和重量）的能力差异。实物呈现保证了个体间所估测物体的同一。错误百分比成为估算精度的一种测查手段。研究发现线性测量估算比重量、液体容量、体积等估算的精度要高，比温度估算的精度要低。第三代研究显示了对认知过程的研究兴趣。主要考察人们如何做出判断以及所使用的策略。研究表明测量估算是一种非常不稳定的过程，易受被估算物体特征所影响。
此外，测量估算策略的讨论集中于心理测量，单位转换和估算项目转换。心理测量包含了想象一种与估算项目并排的测量工具的策略和单位重述（ unit iterate ）的策略。单位重述是测量估算中最常用的策略。单位转换策略指估算者在估算过程没有呈现单位时，采取某种方式转换单位，如寻求参照点。使用参照点缩小了许多估算的认知需要。建构一套参照点可以帮助估算者为某个估算特征发展一套内部的数量范围。估算项目转换指估算者在内心先于估算而把估算项目分解或改编为更小的连续性数量单位。 [27]
数学教育工作者常常推荐学生使用策略进行测量估算，诸如参照点或基准策略。乔拉姆等人（ 2005 ）的研究结果表明，儿童的策略使用预示了他们对标准线性测量单位的表征精度和估算精度。与没有使用参照点策略的学生相比，使用了参照点策略的学生对长度的估算和对标准单位的表征更加精确。 [28]
（三）数量估算
在三种估算类型中，对数量估算的关注最少。这种估算类型需要估算不同集合的基数值。数量估算和测量估算主要的区别在于前者是不连续量，线性测量是连续量。 [29]
伯鲁迪（ Baroody ）等人（ 1991 ）对高智商学前儿童（ 4 岁 11 个月到 6 岁 5 个月）进行研究。先向儿童提供了两周的估算教学，主要是对坛中 50 到 500 个筹码进行估算，记录，检查，标签，参照估算。三个月后给儿童三种数量估算任务。开放性任务是估算卡片上点的数量。数字参照任务是估算卡片中的点数是多于 x 还是少于 x ， x 是参照点。数量顺序任务是使用两个参照点估算。结果表明儿童的估算精度随所估算数量增大而剧烈下降。儿童似乎能目测 3 个物体，大约有 80% 的时间能对 8 个物体的集合给出实际值的 25% 以内的可接受估算。在 15 个物体的集合上表现剧烈下降。因此，即使是某些高智商的儿童也仅可能从小于 10 的集合的估算教学中获益。结果也表明，不同的成功率依赖于集合的大小与参照数字的接近程度。 [30]
伯鲁迪采用的是估算卡片点数的方法，从无参照和有参照两个方面来考查。但对学前儿童来说，卡片上的点数，仍是比较抽象的符号物，脱离实际生活情境。卡片上的点是一种平面排列，缺乏空间立体性，只能从分布面积和密度上为儿童提供直观，且参照点也是抽象的数字，使儿童缺乏对估算量进行分解和重组的可能性。
克里蒂斯（ Crites ， 1992 ）以西格尔等人（ 1982 ）的研究为基础考察了熟练和不太熟练的（有关估算能力） 3 、 5 、 7 年级儿童在数量估算中的策略。研究显示，三种策略解释了儿童所使用策略的 2/3 ：基准比较，眼球效应（一种诸如“看起来像那么多”的知觉描述），和分解－重组。成功的估算者趋向于使用分解－重组和多重基准策略，而不太成功的估算者使用基于知觉的策略。特定策略的使用是与较高的可接受估算的百分比相联系的，导致可接受估算的策略至少 50% 的时间包含多重基准和分解－重组策略。 [31]
布拉德（ Brade ， 2003 ）的研究考察了在使用计算机估算教学活动背景下幼儿数量估算技能的发展。研究依据数量估算的策略水平，把估算发展划分为 9 个水平：水平 0 是“前估算”水平，即儿童不数数就不能提供估算；水平 1 也是“前估算”水平，儿童无策略，或仅是大胆猜测；水平 2 是空间范围，儿童感知集合大小，对小集合匹配小数字，大集合匹配大数字；水平 3 是空间范围的扩展，主要是目测；水平 4 是直觉扫描，即估算是基于一种直觉的定量过程；水平 5 是基准扫描，即用与基准相似的直觉定量知识扫描，儿童发展了一个或多个基准；水平 6 是规则排列的组合，即儿童使用一个目测的集合或想象的基准，重述数量来产生估算值；水平 7 是不规则排列的组合，儿童在不规则分布的目标任务上使用与水平 6 相似的策略，需增加心理提醒和重述基准的能力；水平 8 是分解与重组，儿童先把目标量分解为样本，然后通过数数或与基准比较而量化样本，最后重组样本得到估算值。对学前班和一、二年级各两个班的儿童进行了数量估算的前测和后测。每个年级有一个班作为处理组，进行一种计算机活动的教学，教学活动在于引导儿童解决某些基于假设性理论学习轨道的数量估算技能的问题。研究结果没有表明任何班级的儿童能得益于该教育。但发现在策略和估算精度之间有正相关。 [32]
周欣等人使用有参照估算对 181 名大、中、小班的中国学前儿童进行了数量估算测查。结果表明：幼儿的数量估算有一定的年龄差异，得分随年龄递增，但各年龄班的得分水平相差不大，幼儿估算得分普遍较低。她们认为，造成儿童估算水平低的原因可能是由于儿童缺乏相关的学习与生活经验。 [33]
